我系媒体所副教授刘永进在低维流形几何结构分析方面取得重要进展，相关研究成果(唯一作者论文)近日被模式识别领域国际著名期刊IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence接受发表。

形状的中轴（skeleton/medial axis）是一类基本的几何工具，在模式识别中具有广泛的应用。中轴的概念提出近40年以来，大部分的研究都集中在欧式空间。法国数学家、数学形态学创始人Georges Matheron在1988年提出用开集来表征形状，并用hit-or-miss拓扑研究了欧式空间中的中轴特性，证明了欧式空间的中轴映射是下半连续函数这一重要定理。

2000年Science期刊第290卷上的三篇论文，提出了视感知中的流形表达是一种重要的几何结构的观点，在全世界掀起了流形学习的研究热潮。然而直到目前，关于流形结构中的中轴表达研究成果很少，严重缺乏理论基础。研究的难点主要在于流形上的测地度量随着流形的曲率张量不同而在所嵌入的欧式空间中具有不同的“弯曲”性质。

刘永进深入分析了低维流形空间中基于测地度量的中轴性质，得到以下系统性研究成果：

（1）证明低维流形结构的中轴映射是hit-or-miss拓扑空间中的下半连续函数。

（2）作为流形的特例，前人证明了欧式空间中连通开集的中轴也是连通的。但是，本文研究发现，在一般流形上，连通开集的中轴可以不连通。

（3）在欧式空间中，前人证明了medial axis集合是skeleton集合的一个稠密子集。但是，本文研究发现，在一般流形上，skeleton集合中可以完全没有medial axis集合。

（4）提出并建立用低维流形结构中离散点集的测地Voronoi图来无限逼近一个连通开集的中轴。

本文工作获得国家自然科学基金优秀青年基金项目和国家973项目的资助。